黄金冲刺大题04概率统计（精选30题）1．（2024·浙江绍兴·二模）盒中有标记数字1，2的小球各2个.(1)若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率；(2)若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为（如1122，则），求的分布列及数学期望.【答案】(1)；(2)分布列见解析，1.【分析】（1）根据组合知识求得取球的方法数，然后由概率公式计算概率；（2）确定的所有可能取值为0，1，2，然后分别计算概率得分布列，再由期望公式计算出期望．【详解】（1）设事件“取出的2个小球上的数字不同”，则.（2）的所有可能取值为0，1，2.①当相邻小球上的数字都不同时，如1212，有种，则.②当相邻小球上的数字只有1对相同时，如1221，有种，则.③当相邻小球上的数字有2对相同时，如1122，有种，则.所以的分布列为012所以的数学期望.2．（2024·江苏扬州·模拟预测）甲､乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负方得0分；若平局则各得1分.已知甲在每局中获胜､平局､负的概率均为，且各局比赛结果相互独立.(1)若比赛共进行了三局，求甲共得3分的概率；(2)规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分，则停止比赛，求比赛局数的分布列与数学期望.【答案】(1)；(2)分布列见解析，.【分析】（1）写出所有可能情形,利用互斥事件的概率和公式即可求出；（2）算出为不同值时对应的概率并填写分布列，之后求出数学期望即可.【详解】（1）设“三局比赛后，甲得3分”为事件，甲得3分包含以下情形：三局均为平局，三局中甲一胜一平一负，所以，故三局比赛甲得3分的概率为.（2）依题意知的可能取值为，，，，，故其分布列为：2345期望.3．（2024·江苏南通·二模）某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？(2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？【答案】(1)9种(2).【分析】（1）法一，利用分步乘法计数原理集合组合数的计算，即可求得答案；法二，利用间接法，即用不考虑队长人选对甲的限制的所有选法，减去甲担任队长的选法，即可得答案；（2）考虑第一次传球，老师传给了甲还是传给乙、丙、丁中的任一位，继而确定第二次以及第三次传球后球回到老师手中的情况，结合乘法公式以及互斥事件的概率求法，即可求得答案.【详解】（1）法一，先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为；再选出副队长，方法数也是，故共有方法数为（种）.方法二先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为（种）；若甲任队长，方法数为，故甲不担任队长的选法种数为（种）答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种.（2）①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，其概率为；第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为，故这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为：.②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为，第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球给甲，其概率为，第三次传球，甲将球传给老师，其概率为，这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为，所以，前三次传球中满足题意的概率为：.答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是.4．（2024·重庆·模拟预测）中国在第75届联合国大会上承诺，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)．新能源电动汽车作为战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．赛力斯汽车有限公司为了调查客户对旗下AITO问界M7的满意程度，对所有的意向客户发起了满意度问卷调查，将打分在80分以上的客户称为“问界粉”．现将参与调查的客户打分(满分100分)进行了统计，得到如下的频率分布直方图：(1)估计本次调查客户打分的中位数(结果保留一位小数)；(2)按是否为“问界粉”比例采用分层抽样的方法抽取10名客户前往重庆赛力斯两江智慧工厂参观，在10名参观的客户中随机抽取2名客户赠送价值2万元的购车抵用券．记获赠购车券的“问界粉”人数为，求的分布列和数学期望．【答案】(1)73.3分(2)分布列见解析；期望为【分析】（1）根据频率分布直方图求解中位数的方法可得答案；（2）确定抽取的“问界粉”人数，再确定的取值，求解分布列，利用期望公式求解期望.【详解】（1）由频率分布直方图可知：打分低于70分的客户所占比例为40％，打分低于80分的客户的所占比例为70％，所以本次调查客户打分的中位数在[70，80）内，由，所以本次调查客户打分的中位数约为73.3分；（2）根据按比例的分层抽样：抽取的“问界粉”客户3人，“非问界粉”客户7人，则的所有可能取值分别为0，1，2，其中：，，，所以ξ的分布列为：012P所以数学期望．5．（2024·福建三明·三模）某校开设劳动教育课程，为了有效推动课程实施，学校开展劳动课程知识问答竞赛，现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库，其中家政类占，园艺类占，民族工艺类占.根据以往答题经验，选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分别为，选手乙答对这三类题目的概率均为(1)求随机任选1题，甲答对的概率；(2)现进行甲、乙双人对抗赛，规则如下：两位选手进行三轮答题比赛，每轮只出1道题目，比赛时两位选手同时回答这道题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得分，若两人都答对或都答错，则两人均得0分，累计得分为正者将获得奖品，且两位选手答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响，求甲获得奖品的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用全概率公式，即可求得答案；（2）求出乙答对的概率，设每一轮比赛中甲得分为X，求出X的每个值对应的概率，即可求得三轮比赛后，甲总得分为Y的每个值相应的概率，即可得答案.【详解】（1）记随机任选1题为家政、园艺、民族工艺试题分别为事件,记随机任选1题，甲答对为事件B，则，则；（2）设乙答对记为事件C，则，设每一轮比赛中甲得分为X，则，，，三轮比赛后，设甲总得分为Y，则，，，所以甲最终获得奖品的概率为.6．（2024·江苏南京·二模）某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：超市ABCDE广告支出x24568销售额y3040606070(1)从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X，求随机变量X的分布列及期望；(2)利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．【答案】(1)X的分布列见解析，期望(2)；预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望，（2）利用最小二乘法求解线性回归方程即可.【详解】（1）从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市有C，D，E这3家超市，则随机变量的可能取值为1，2，3，，，的分布列为：123数学期望．（2），，，．关于的线性回归方程为；在中，取，得．预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．7．（2024·重庆·三模）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.记随机变量，，表示前局中乙当裁判的次数.(1)求事件“且”的概率；(2)求；(3)求，并根据你的理解，说明当充分大时的实际含义.附：设，都是离散型随机变量，则.【答案】(1)；(2)；(3)，答案见解析。【分析】（1）把事件“且”分拆成两个互斥事件的和，再分别计算各事件的概率即可.（2）把事件分拆成互斥事件与的和，列出与的关系式，利用构造法求出数列通项即得.（3）求出，再利用期望的性质求出，【详解】（1）当时，.（2）当时，，即，即，又，因此是首项为，公比为的等比数列，所以.（3）因为，则.且，则，当充分大时，稳定在，即前局中乙当裁判的平均次数稳定在，这是因为各局中双方获胜的概率均为，所以经过足够多局之后，某局中甲、乙、丙当裁判得概率比值稳定在，或由（2）问结果得稳定在附近，则乙当截判的平均次数稳定在.【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.8．（2024·安徽池州·二模）学校组织某项劳动技能测试，每位学生最多有3次测试机会.一旦某次测试通过，便可获得证书，不再参加以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完3次机会.如果每位学生在3次测试中通过的概率依次为，且每次测试是否通过相互独立.现某小组有3位学生参加测试，回答下列问题：(1)求该小组学生甲参加考试次数的分布列及数学期望；(2)规定：在2次以内测试通过（包含2次）获得优秀证书，超过2次测试通过获得合格证书，记该小组3位学生中获得优秀证书的人数为，求使得取最大值时的整数.【答案】(1)分布列见解析，(2)3【分析】（1）确定的可能值，利用独立事件的概率公式计算概率得分布列，再由期望公式计算出期望；（2）确定所有可能取的值为，得出，利用二项公布的概率公式计算出各概率后可得，也可以解不等式得出结论．【详解】（1）由题意知，所有可能取的值为，，的分布列如下：1230.50.30.2；（2）由题意知，每位学生获得优秀证书的概率，方法一：所有可能取的值为，且，，，，，，所以使得取得最大值时，整数的值为3．方法二：由得，所以，所以，所以使得取得最大值时，整数的值为3．9．（2024·辽宁·二模）一枚棋子在数轴上可以左右移动，移动的方式以投掷一个均匀的骰子来决定，规则如下：当所掷点数为1点时，棋子不动；当所掷点数为3或5时，棋子在数轴上向左(数轴的负方向)移动“该点数减1”个单位；当所掷的点数为偶数时，棋子在数轴上向右(数轴的正方向)移动“该点数的一半”个单位；第一次投骰子时，棋子以坐标原点为起点，第二次开始，棋子以前一次棋子所在位置为该次的起点．(1)投掷骰子一次，求棋子的坐标的分布列和数学期望；(2)投掷骰子两次，求棋子的坐标为的概率；(3)投掷股子两次，在所掷两次点数和为奇数的条件下，求棋子的坐标为正的概率．【答案】(1)分布列见解析，(2)(3)【分析】（1）由题目分析即可得出分布列，再用数学期望公式计算即可；（2）分析出所有满足投掷骰子两次，棋子的坐标为的所有情况，即可求出概率；（3）先求出投掷股子两次，所掷两次点数和为奇数且棋子的坐标为正的概率及掷两次点数和为奇数的概率，根据条件概率公式计算即可．【详解】（1）设为投掷骰子一次棋子的坐标，由题可知，且概率都相同为，分布列如下：0123．（2）投掷骰子两次，棋子的坐标为的情况有：①第一次坐标为（点数为5），第二次向右2个单位（点数为4）；②第一次坐标为（点数为3），第二次不动（点数为1）；③第一次坐标为0（点数为1），第二次向左2个单位（点数为3）；④第一次坐标为2（点数为4），第二次向左4个单位（点数为5）；故投掷骰子两次，棋子的坐标为的概率为．（3）设事件“掷两次点数和为奇数”，“投掷股子两次棋子的坐标为正”，由题可知，，投掷股子两次，所掷两次点数和为奇数，且棋子的坐标为正的点数情况有：6和1,6和3,4和1，1和2，共8种情况，故，则在所掷两次点数和为奇数的条件下，棋子的坐标为正的概率．10．（