江苏省泰州市2025届高三下学期开学调研测试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量AB=(x,2)，BC=(2,1).若AB//BC，则|AC|=A.4 B.25 C.5 D.352.已知集合A={x|x2−2x−8<0}，B=x5−xx+1≥0，则∁RA∩B=( )A.[4,5] B.(−2,−1]C.(−1,4) D.(−∞,−2]∪(5,+∞)3.已知复数z满足z−23z−4=i(i为虚数单位)，则z的虚部为A.15i B.15 C.75i D.754.已知随机变量ξ服从二项分布Bn,12.若D(3ξ+2)=36，则n=A.144 B.48 C.24 D.165.已知函数f(x)=tan12x−π3，则“x0=2kπ+2π3，k∈Z”是“f(x)的图像关于点(x0,0)对称”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线x2=2py(p>0)，单位圆O分别相切于A，B两点，当|AB|最小时，p=A.23 B.22 C.3 D.27.对一排8个相邻的格子进行染色．每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求不能有相邻的格子都染红色，则满足要求的染色方法共有A.89种 B.55种 C.54种 D.34种8.已知a∈R，a≠−1，函数f(x)=lnax+1x−1，则A.当a>0时，函数f(x)在其定义域上单调递减B.当a<0时，函数f(x)在其定义域上单调递增C.存在实数a，使函数f(x)的图像是轴对称图形D.当a≠0时，函数f(x)的图像恒为中心对称图形二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知正数x，y满足x4+y3=1，则下列选项中正确的是A.xy≤3 B.x2+y2≥125C.(x+4)y的最大值为12 D.8x+16y的最小值为12810.假设某种细胞分裂和死亡的概率相同，每次分裂都是一个细胞分裂成两个．如果一个种群从这样一个细胞开始变化，假设A为种群灭绝事件，S为第一个细胞成功分裂事件，F为第一个细胞分裂失败事件．若P(A)=p，则A.P(S)=P(F)=12 B.P(A|F)≠1C.P(A|S)=p2 D.p≠111.若球C在四棱锥的内部，且与四棱锥的四个侧面和底面均相切，则称球C为四棱锥的“Q”球．在四棱锥P−ABCD中，AB=a，四边形ABCD为矩形，△PAD是边长为1的正三角形．若二面角P−AD−B的大小为60∘，则A.当a变化时，平面PAB与平面PAD的夹角不变B.当a变化时，PB与平面PAD所成角的最大值为60∘C.当a=1时，四棱锥P−ABCD不存在“Q”球D.存在a，使得四棱锥P−ABCD有半径为13−26的“Q”球三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数列{an}为等差数列，a1=10，公差d=−3.若cn=an+1an，则cn的最小值为________.13.已知ω>0，函数f(x)=cos2ωx+π6在区间0,π3上单调递减，则ω的最大值为________.14.已知O为坐标原点，点A，B，C为椭圆x22+y2=1上三个不同的点(A,B,C依次逆时针排列).若∠AOB=∠BOC=∠COA=120∘，则|OA|2+|OB|2+1649|OC|2的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若点D在边BC上，∠ADB=2B，sin(A−B)sinC+2bc=1.(1)求角A的大小；(2)若tanC=2，c=2，(ⅰ)求cosB的值；(ⅱ)求AD的长．16.(本小题15分)在三棱锥P−ABC中，△ABC与△PAC都是边长为6的等边三角形，PB=9.点D为PB的中点，点E在线段AB上，BE=2EA.(1)求证：PB⊥AC；(2)求DE的长(3)求直线DE与平面PAC所成角的正弦值．17.(本小题15分)已知a∈R，f(x)=ln(x+1)，g(x)=ax.(1)若a=−2，曲线y=f(x)上一点P处的切线与直线y=g(x)垂直，求点P坐标；(2)若g(x)≥f(x)恒成立，求a的值．18.(本小题17分)在平面直角坐标系中，点M到定点F(4,0)的距离与点M到直线l：x=1的距离之比为2，点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知点P(1,m)，m≠0，A，B为曲线C的左、右顶点．若直线PA，PB与曲线C的右支分别交于点D，E.(ⅰ)求实数m2的取值范围；(ⅱ)求|PA||PB||PD||PE|的最大值．19.(本小题17分)设数列{an}的前n项和为Sn，2Sn=n2+5n.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn=n⋅2n，求数列Sn+4anbn的前n项和Tn；(3)设cn=1an−2，求证：c1+c2+c3+…+cn>2n−32.答案和解析1.【答案】D 【解析】解：因为AB//BC，AB=(x,2)，BC=(2,1)所以x=4，所以AC=AB+BC=4,2+2,1=6,3，|AC|=62+32=35.故选D.2.【答案】A 【解析】解：∵A={x|x2−2x−8<0}={x|−232，显然θ的最大值大于60∘，故B错误；若四棱锥P−ABCD存在“Q”球，设球心为H，可知平面PAB与平面PCD关于平面PEF对称，根据对称性，球心H在平面PEF内，因为AD⊥平面PEF，AD⊂平面PAD，AD⊂平面ABCD，所以平面PEF⊥平面PAD，平面PEF⊥平面ABCD，又平面PEF∩平面PAD=PE，平面PEF∩平面ABCD=EF，则点H到直线PE、PF的距离即为点H到平面PAD、平面ABCD的距离，可知点H在∠PEF的角平分线上，又∠PEF=60∘，则∠HEx=30∘，设H3m,0,m，m>0，BH=3m−a,12,m，设平面PBC的法向量为n3=x3,y3,z3，则n3⋅BP=34−ax3+12y3+34z3=0n3⋅BC=y3=0，可取x3=3，则y3=0，z3=4a−3，n3=3,0,4a−3，则点H到平面PAD和平面ABCD的距离为m，球的半径也为m，点H到平面PAB的距离为d1=n1⋅BHn1=2m−3213，点H到平面PBC的距离为d2=n3⋅BHn3=23m−3a+4am9+4a−32，由d1=2m−3213=m，解得m=13−26(舍负)，由d2=23m−3a