专题06解三角形及应用易错点一：易忽视三角形解的个数（解三角形多解情况）1．方法技巧：解三角形多解情况在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解2．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．技巧：正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题问题1：已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。问题2：已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间内不严格格单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。题设三角形中，已知一个角和两个边，判断三角形个数，遵循以下步骤第一步：先画一个角并标上字母第二步：标斜边（非对角边）第三步：画角的高，然后观察（）易错提醒：利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解的个数.例．设的内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（    ）A．若，则B．若，则为钝角三角形C．若，则符合条件的有两个D．若，则为等腰三角形或直角三角形【详解】A：由正弦定理可知：，因为，所以，因此本选项正确；B：根据余弦定理由，因为，所以有，因此该三角形是钝角三角形，所以本选项正确；C：由正弦定理可知：，所以不存在这样的三角形，因此本选项不正确；D：，或，当时，可得，此时该三角形是等腰三角形；当时，可得，此时该三角形是直角三角形，故选：ABD变式1．在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ）A．B．若，且，则为等边三角形C．若，则是等腰三角形D．在中，，则使有两解的的范围是【详解】对A，即，即，因为，故原式成立，故A正确；对B，则，即，故，由可得.又可得，即，故，由可得.故，则为等边三角形，故B正确；对C，当时，满足，则或，所以或，故不一定为等腰三角形，故C错误；对D，要使有两解，则需，故，即，故D正确.  故选：ABD变式2．在中，内角的对边分别为．则下列结论正确的是（    ）A．若，则B．若，则角为钝角C．若均不为直角，则D．若，则唯一确定【详解】A选项，，，，，所以A选项错误.B选项，，即，即，由正弦定理得，则，由于，所以，所以，所以为钝角，所以B选项正确.C选项，，，所以，C选项正确.D选项，，所以，所以有两解，所以D选项错误.故选：BC变式3．在中，角，，所对的边分别是，，，下列叙述正确的是（    ）A．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个B．若，则为钝角三角形C．若，则为等腰三角形D．若不是直角三角形，则【详解】对于A，由，则，又，知满足条件的三角形只有一个，故A正确；对于B，，即，为钝角，故B正确；对于C，，即，由正弦定理可得，则，所以或，故C错误．对于D，因为不是直角三角形，所以，，均有意义，又，所以，所以，故D正确；故选：ABD．1．在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由可求，对的取值进行讨论，求出使得B唯一时的取值范围，此时有唯一值.【详解】由可得：，且，若，则，由正弦定理可得,则，所以B为锐角，此时B唯一，则C也唯一，所以有唯一值.当时，，则此时B唯一，则C也唯一，所以有唯一值.当时，因为，根据正弦函数图像易知，在上存在两个根，所以存在两个值满足，所以不成立.故选：C2．在中，角所对的边为，有如下判断，其中正确的判断是（    ）A．若，则为等腰直角三角形B．若，则C．若，则符合条件的有两个D．在锐角三角形中，不等式恒成立【答案】BD【分析】A选项，由得到或，得到答案；B选项，由正弦定理得到，从而得到；C选项，，故无解；D选项，为锐角，由余弦定理得到恒成立.【详解】A选项，，，故或，解得或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误；B选项，，由正弦定理得，因为，所以，故，因为，所以，故，，因为，故，B正确；C选项，若，则，则符合条件的有0个，C错误；D选项，为锐角三角形，故为锐角，由余弦定理得，，故不等式恒成立，D正确.故选：BD3．在中，角所对的边分别为，以下说法中正确的是（    ）A．若，则B．若，则符合条件的三角形有一个C．若，则为钝角三角形D．若，则直角三角形【答案】AD【分析】利用正弦定理以及余弦定理逐一判断各选项即可.【详解】对于A，若，则，所以由正弦定理，可得，故A正确；对于B，若，根据正弦定理可得，，又，所以有两解，可以是锐角，也可以是钝角，所以符合条件的三角形有两个，故B错误对于C，若，，，由得为的最大角，因为，由余弦定理，所以角为锐角，即为锐角三角形，故C错误；对于D，由得，即，又，所以,因为，，所以，所以，所，故D正确.故选：AD4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，，，则有两解C．若为钝角三角形，则D．若，则此三角形为等腰三角形【答案】AB【分析】利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理及三角方程即可求解.【详解】对于A，因为，所以，由正弦定理得，故A正确；对于B，因为，，，所以,即,所以有两解，所以有两解，故B正确；对于C，因为为钝角三角形，但不一定是钝角，所以不一定成立，故C错误；对于D，因为，所以，由，得或，解得或，所以此三角形为等腰三角形或此三角形为直角三角形，故D错误.故选：AB.5．对于△ABC，有以下判断，其中正确的是（    ）A．若，则△ABC为等腰三角形B．若，则C．若，，，则符合条件的三角形有两个D．若，则△ABC是锐角三角形【答案】BC【分析】根据正弦值相等，即可判断角的关系，即可判断A；根据正弦定理，即可判断B；根据判断三角形个数的公式，即可判断C；根据正弦定理，化为边的关系，再结合余弦定理，即可判断D.【详解】对于A：若，则或,所以或，即是等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B：，则，根据正弦定理可知，，故B正确；对于C：若，，，则，则符合条件的三角形有两个，故C正确；对于D：根据正弦定理可知，若，即，，则为锐角，但不能说明角的情况，故D错误.故选：BC6．对于，有如下判断，其中正确的判断是（    ）A．若，则为等腰三角形B．若，则C．若，则符合条件的有两个D．若，则是钝角三角形【答案】BD【分析】A项，可能为直角三角形；B项，由大角对大边及正弦定理可得；C项，由，可知为锐角，满足条件的三角形只有一个；D项，由正弦定理得，得为钝角.【详解】选项A，当时，则，满足，即不一定是等腰三角形，可能为直角三角形，故A项错误；选项B，由大角对大边可得，，由正弦定理，得，则，即，故B项正确；选项C，由正弦定理得，即，又，则，故为锐角，由此唯一确定，边也唯一确定，故有唯一解，故C项错误；选项D，已知，由正弦定理得，则，所以，则角为钝角，故是钝角三角形，D项正确.故选：BD.7．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（   ）A．若，则B．若，则C．若，则为等腰三角形D．若，，，则只有一解【答案】AB【分析】对于A，先求出，然后利用正弦定理可求出三边的比，对于B，利用正弦定理分析判断，对于C，利用余弦定理统一成边的形式，然后化简可判断三角形的形状，对于D，先求出边上的高，然后结合已知条件分析判断【详解】对于A，因为，所以，所以由正弦定理得，所以A正确，对于B，因为，所以由正弦定理得（为三角形外接圆半径），所以，所以A正确，对于C，因为，所以由余弦定理得，所以，化简得，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，所以C错误，对于D，设边上的高为，则，因为，，所以，所以有两解，所以D错误，  故选：AB8．已知的内角的对边分别为则下列说法正确的是（    ）A．若，则有一个解B．若，则有两个解C．若，则为等腰三角形D．若，则为钝角三角形【答案】ABD【分析】运用正弦定理、结合正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】对于A，由正弦定理，，因为，因此，有唯一解，故A正确；对于B，由正弦定理，，因为，所以或，有两解，故B正确；对于C，因为，，所以或，即或，因此为等腰或直角三角形，故C错误；对于D，当为钝角时，为钝角三角形，当为直角时，不满足条件，当为锐角时，，因此，，因此为钝角三角形，故D正确.故选：ABD.9．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，，，则有两解C．若为钝角三角形，则D．若，，则的面积是3【答案】AB【分析】利用正弦定理可以判断A正确；由正弦定理与三角形大角对大边的性质，可判断B正确；由余弦定理，可得C错误；由余弦定理和三角形面积公式可得D错误.【详解】A.因为，由大角对大边得，所以由正弦定理可得，故A正确.B.由正弦定理得，，又，是锐角，，所以角可以是锐角或者钝角，所以有两解，故B正确.C.若为钝角三角形，若为钝角，为锐角，则由余弦定理，此时，故C错误.D.由余弦定理且，得；又，所以；又；故D错误.故选：AB.10．的内角的对边分别为、，则下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，则有两解C．若为钝角三角形，则D．若三角形为斜三角形，则【答案】ABD【分析】由三角形的性质和正弦定理，可判定A正确；利用正弦定理求得，进而得到有两解，可判定B正确；当为钝角时，得到，可判定C错误；结合两角和的正切公式，可判定D正确.【详解】对于A中，由，可得,由正弦定理得，所以A正确；对于B中，因为，由正弦定理，可得，因为且，所以，所以有两解，即有两解，所以B正确；对于C中，若为钝角三角形，当为钝角时，由余弦定理可得，所以C错误；对于D中，因为，可得，又因为，可得，所以，所以D正确；故选：ABD.11．对于中，有如下判断，其中正确的判断是（    ）A．若，，，则符合条件的有两个B．若，则为等腰三角形或直角三角形C．若，则的最小值为D．若点在所在平面且，，则点的轨迹经过的外心【答案】BCD【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用余弦定理可判断B选项；利用三角形的面积公式可得出，利用余弦定理结合基本不等式可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.【详解】对于A选项，由正弦定理可得，则，故不存在，A错；对于B选项，因为，由余弦定理可得，整理可得，所以，或，故为等腰三角形或直角三角形，B对；对于C选项，因为，因为，则，则，由余弦定理可得，当且仅当时取等号，故的最小值为，C对；对于D选项，设线段的中点为，连接，由，可得，所以，，由，可得，所以，，即，所以，点的轨迹经过的外心，D对.故选：BCD.易错点二：解三角形时，出现类似于sin2A=sin2B易漏解（解三角形问题）《正弦定理》①正弦定理：②变形：③变形：④变形：⑤变形：《余弦定理》①余弦定理：②变形：核心问题：什么情况下角化边?什么情况下边化角?⑴当每一项都有边且次数一样时，采用边化角⑵当每一项都有角《》且次数一样时，采用角化边⑶当每一项都是边时，直接采用边处理问题⑷当每一项都有角《》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可三角形面积公式①②其中分别为内切圆半径及的周长推导：将分为三个分别以的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式③（为外接圆的半径）推导：将代入可得将代入可得④⑤海伦公式（其中）推导：根据余弦定理的推论令，整理得正规方法：面积公式+基本不等式①②③易错提醒：当解题过程中出现类似于sin2A=sin2B这样的情况要注意结合三角形内角范围进行讨论，另外当题设中出现锐角三角形时一定要注意条件之间的相互“限制”例