2025届高三三校联考数学试题参考答案1234567891011DCCADBBAABCABDBC一、二单选多选答案:三、填空题答案:12.4813.14.8π四、解答题答案:15.(1)证明：设P到底面ABCD的距离为h，∴VP−ABCD=13S△ABCD⋅ℎ=83⋅ℎ=1633⇒ℎ=23，取CD中点O，连接PO，∵△PCD为等边三角形，且CD=4，∴PO=23=ℎ，∴PO⊥平面ABCD（3分）又BC⊂平面ABCD，∴PO⊥BC，又∵BC⊥CD，PO∩CD=O，PO，CD⊂平面PCD∴BC⊥平面PCD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD.（6分）(2)如图建系.则A(2,−2,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,−2,0)，P(0,0,23)，E(0,1,3)AB=(0,4,0)，AP=(−2,2,23).（8分）设平面PAB的一个法向量n1=(x,y,z)∴AB⋅n1=0AP⋅n1=0⇒4y=0−2x+2y+23z=0，取x=3，得n1=(3,0,1).（10分）由（1）平面PBC⊥平面PCD又DE⊥PC,且PC=平面PBC∩平面PCD故DE⊥平面PBC所以平面PBC的一个法向量n2=DE=(0,3,3)，（11分）设平面PAB与平面PBC夹角为θ，∴cosθ=|n1⋅n2||n1||n2|=32×23=14（13分）（其他方法参照以上步骤给分）16.解：（1）（7分） （9分） （10分）<0,f(x)单调递减>0,f(x)单调递增 （13分）故f(x)=f(e)=(e)lne=- （15分）17.（1）由题意得解得，椭圆的标准方程为 （5分）（2）令，分析直线、、倾斜角的大小关系，得到,故有，故有。化简得到.（※） （10分）设,,联立，有，于是有.又 （12分），，代入※式化简得，，即可证过定点（15分）（用平移齐次化的方法参照以上步骤给分）18.解：(1)由题意知，X=0，1，2，3．P(X=0)=13×12×13=118，P(X=1)=13×12×13+13×12×23+23×13×12=518，P(X=3)=(23)3=827;P(X=2)=1-P(X=0)−P(X=1)−P(X=3)=1027， （5分）所以随机变量X的分布列为X0123P1185181027827随机变量X的数学期望为E(X)=0×118+1×518+2×1027+3×827=10354．（7分）(2)由于投掷n次骰子后球不在乙手中的概率为1−pn，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有26=13的概率传给乙，故有pn+1=13(1−pn)， （10分）变形为pn+1−14=−13(pn−14).又p1=13，所以数列{pn−14}是首项为p1−14=112，公比为−13的等比数列．所以pn−14=112×(−13)n−1=−14×(−13)n所以数列pn的通项公式pn=14−14×(−13)n； （12分）(3)由(2)可得pn=14−14×(−13)n；p1+p2+......+p2n=所以 （17分）(1)因为an=，且4=2+12−5，22+5−1=8，所以b4=a8=64.（3分）因为5=2+12−4，22+4−1=7，所以b5=a7=49．（6分）设数列an的前n项和为Sn，依题意得T（k+1)2=Tk2+2k+b(k+1)2=T3+T8−T3+T15−T8+⋯+Tk2+2k−Tk2−1+b(k+1)2，（8分）又T3=b1+b2+b3=a3+a2+a1=S3，T8−T3=b4+b5+b6+b7+b8=a8+a7+a6+a5+a4=S8−S3，…， （9分）依次递推:Tk2−1−Tk2−2k=bk2−2k+1+bk2−2k+2+⋯+bk2−2+bk2−1=ak2−1+ak2−2+⋯+ak2−2k+2+ak2−2k+1=Sk2−1−Sk2−2k， （10分）所以T(k+1)2=S3+S8−S3+S15−S8+⋯+Sk2−1−Sk2−2k+ak2+4k+3=Sk2+2k+ak2+4k+3，即T(k+1)2=31−3k2+2k1−3+3k2+4k+3=3k2+4k+3+． （12分）依题意得Tk2+k−Tk2+k−1=k2+kak2+k−k2+k−1ak2+k−1=bk2+k=ak2+k，所以ak2+k=ak2+k−1， （14分）Tk2+k+1−Tk2+k=k2+k+1ak2+k+1−k2+kak2+k=bk2+k+1=ak2+k−1，所以ak2+k+1=ak2+k−1，…， （15分）依次递推，总有ak2+k+i−1=ak2+k−i1≤i≤k+1和ak2+k+i=ak2+k−i1≤i≤k，由此可知，当k=1时，k2≤n≤k2+2k，an是常数列，当k∈N∗，且k≥2时，k2−1≤n≤k2+2k，an是常数列.又k2+2k=k+12−1，（16分）所以对任意的n∈N∗，an是常数列． （17分）