专题02函数及其应用、指对幂函数易错点一：对函数定义域、值域及解析式理解存在偏差（定义域、值域及解析式的求算）已知函数的具体解析式求定义域的方法法1：若是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集.法2：复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可.函数解析式的常见求法法1：配凑法：已知，求的问题，往往把右边的整理或配凑成只含的式子，然后用将代换.法2：待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可.法3：换元法：已知，求时，往往可设，从中解出，代入进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围.法4：解方程组法：已知满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如(或)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出．分段函数第一步：求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．第二步：当出现的形式时，应从内到外依次求值．第三步：当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。结论：复合函数：一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作，其中叫做复合函数的外层函数，叫做的内层函数.抽象函数的定义域的求法：(1)若已知函数的定义域为，则复合函数的家义域由求出.(2)若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域.易错提醒：函数的概念①一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合叫做值域，记为.②函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.③函数表示法：函数书写方式为，④函数三要素：定义域、值域、对应法则.⑤同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.基本的函数定义域限制求解函数的定义域应注意：①分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数大于或等于零：③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；④零次幂或负指数次幂的底数不为零；⑤三角函数中的正切的定义域是且；⑥已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；=2\*GB3②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；⑦对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.基本初等函数的值域①的值域是.②的值域是：当时，值域为；当时，值域为．③的值域是.④且的值域是.⑤且的值域是.分段函数的应用分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．例1．函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得，解得，则定义域为，故选：C.变式1：设，若，则（    ）A．14 B．16 C．2 D．6【答案】A【详解】因为的定义域为，则，解得，若，则，可得，不合题意；若，则，可得，解得；综上所述：.所以.故选：A.变式2：已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得，所以．故选:C.变式3：已知函数，则下列正确的是（    ）A． B． C． D．的值域为【答案】B【详解】对选项A，，故A错误；对选项B，，故B正确．对选项C，因为，所以，，故C错误；对选项D，当时，，函数的值域为，当时，，函数的值域为，又因为时，，所以当时，函数的值域为，综上，函数的值域为，故D错误．故选：B1．已知函数，则（    ）A． B．3 C． D．【答案】B【详解】因为函数，则,令，则，又因为，所以，所以，故选：B.2．给出下列个函数，其中对于任意均成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；对于B，当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；对于C，当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；对于D，令，则，所以，令，所以，所以，所以，符合.故选：D.3．已知函数，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，则，且，则，可得，所以.故选：B.4．已知函数满足，则可能是（    ）．A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，，则，，不满足；对于B，，则，，不满足；对于C，，则，，不满足；对于D，，当时，，故；当时，，故，即此时满足，D正确，故选：D5．设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，即，解得，所以，由，所以，所以，所以．故选：D．6．集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意可得：，，所以.故选：B.易错点二：忽视单调性与单调区间的主次（函数的单调性与最值）1.函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。2.函数在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。3.函数的单调定义中的、有三个特征：（1）任意性（2）有大小（3）属于同一个单调区间。4.求函数的单调区间必须先求定义域。5.判断函数单调性常用以下几种方法：方法1：定义法：一般步骤为设元作差变形判断符号→得出结论.方法2：图象法：如果是以图象形式给出的，或者的图象易作出，则可由图象的上升或下䧏确定单调性.方法3：导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.方法4：性质法：（1）对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及增减性质进行判断；6.求函数最值（值域）的常用方法方法1：单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.方法2：图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.方法3：基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.方法4：导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.结论：1.单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；③定号：判断差的正负或商与的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：结论1：若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；结论2：若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；结论3：若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；结论4：若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．易错提醒：1.函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数的定义域为，区间：如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，符号一致那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，符号相反那么就说在区间上是减函数．=1\*GB3\*MERGEFORMAT①属于定义域内某个区间上；=2\*GB3\*MERGEFORMAT②任意两个自变量，且；=3\*GB3\*MERGEFORMAT③都有或；=4\*GB3\*MERGEFORMAT④图象特征：在单调区间上增函数的图象上坡路，减函数的图象下坡路．（2）单调性与单调区间=1\*GB3\*MERGEFORMAT①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．=2\*GB3\*MERGEFORMAT②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2．函数的最值前提：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足条件：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得结论为最大值（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得结论为最小值例．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】设函数，则函数是由二次函数与指数函数复合而成的.当时，由于函数单调递减，而二次函数的图象开口向上，在区间上不可能单调递减，则函数在区间上不可能单调递增，故不满足题意；当时，函数单调递增，要使函数在区间上单调递增，则二次函数在区间上单调递增，又其对称轴为，故，所以.故选：C.变式1．下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】根据题意，“对任意的，使得”，则函数在上为减函数.对于选项A，，为二次函数，其对称轴为x＝－1，在上递减，符合题意；对于选项B，，其导数，所以在上递增，不符合题意；对于选项C，为一次函数，所以在上递增，不符合题意；对于选项D，由复合函数单调性“同增异减”知，在上单调递增，不符合题意.故选：A.变式2．若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为对任意的，且，都有，即对任意两个不相等的正实数不妨设，都有，所以有，所以函数是上的减函数，又因为为奇函数，即有，有，所以有，所以为偶函数，所以在上单调递增．当，即时，有,由，得，所以，解得，此时无解；当，即时，由，得，所以，解得或．综上所述，不等式的解集为．故选：C.变式3．定义在上的函数满足：对，且都有，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据题意：当时，，当时,可得函数在单调递增.则，在同一坐标系中画出与图象.得，则不等式的解集为，故选：B.  1．已知函数，若对于一切的实数，不等式恒成立，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】易知函数的定义域为，则，因为，，所以，又因为，所以，即恒成立，故函数是上的单调递增函数，因为，所以，即，当时，左边成立，故符合题意；当时，有，解得：，综上所述：的取值范围为：.故选：D.2．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为对任意的，都有，此时，则，所以在单调递减，因为函数是定义在上的奇函数，所以在单调递减，，所以当和时，；当和时，.由，即，所以或或或，所以或或或无解，所以原不等式解集为故选：D3．已知函数，且，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】函数，则，即，解得，所以的定义域为，且，所以为奇函数，又函数在上单调递减，所以在上单调递减，则在上单调递减，所以不等式，即，等价于，解得，即实数的取值范围是.故选：D4．已知函数的定义域为，的图象关于点对称，，且对任意的，，满足，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】的图象关于点对称，的图象关于点对称，是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足，在上单调递减，所以在上也单调递减，又所以，且，所以当时，；当时，，所以由可得或或，解得或，即不等式的解集为．故选：C.5．已知函数，关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，得．因为的定义域为R，，所以为奇函数，因此．又，所以．当时，单调递增，而为奇函数，所以在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，解得，故的取值范围为．故选：D.6．为定义在上的偶函数，对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】对任意的，都有，