专题12概率易错点一：互斥与对立混淆致误（随机事件的概率）Ⅰ：首先明确什么是随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示．随机试验的要求：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确的，结果不止一种；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一种，但事先不能确定出现哪一种结果．Ⅱ：随机事件的前提样本空间我们把随机试验的每个可能出现的结果称为样本点，全体样本集合称为试验的样本空间，一般地，用表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间．Ⅲ：两类事件：随机事件、确定事件（1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．（2）作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．（3）在每次试验中都不可能发生，我们称为不可能事件．（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为随机事件的确定事件．注意：事件的运算可以用韦恩图可以破解Ⅳ：互斥事件与对立事件（1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用韦恩图表示如下：如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥．（2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为．（3）互斥事件与对立事件的关系（重点）①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．Ⅴ：概率与频率（1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率．（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作．（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率．随机事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件的概率用表示.解题步骤如下：第一步：仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；第二步：判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件；第三步：分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数；第四步：利用公式求出事件的概率．易错提醒：对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系；第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；第三，两个事件互斥是在试验的结果不能同时出现来确定的．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作．分类讨论思想是解决互斥事件中有一个发生的概率的一个重要的指导思想例、判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花各10张，且点数都是从1~10）中，任取一张．（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．解析：（1）是互斥事件，不是对立事件．原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．（2）既是互斥事件，又是对立事件．原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是不可能同时发生的，但其中必有一个发生，因为扑克牌不是红色就是黑色，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．（3）不是互斥事件，也不是对立事件．原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽的点数为10．因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．变式1．从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数，下列两个事件为对立事件的是（    ）A．“至多有一个是偶数”和“至多有两个是偶数”B．“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”C．“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”D．“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数”解：从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数，可能有个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，“至多有一个是偶数”包括个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，“至多有两个是偶数”包括个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，即“至多有一个是偶数”包含于“至多有两个是偶数”，故A错误；“恰有一个是奇数”即个奇数和个偶数，“恰有一个是偶数”即个奇数和个偶数，所以“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是互斥但不对立事件，故B错误；同理可得“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数”是互斥但不对立事件，故D错误；“至少有一个是奇数”包括个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，“全都是偶数”即个奇数和个偶数，所以“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”为对立事件，故C正确；故选：C变式2．设A，B是两个随机事件，，分别为A，B的对立事件．给出以下命题：①若A，B为互斥事件，且，，则；②若，，且，则A，B相互独立；③若，，且，则A，B相互独立；④若，，且，则A，B相互独立．其中所有真命题的序号为（    ）A．① B．② C．①②③ D．②③④【详解】对于①，因为A，B为互斥事件，且，，所以，所以①正确，对于②，因为，所以，因为，,所以，所以A，B相互独立，所以②正确，对于③，因为，，所以，，所以，所以相互独立，所以A，B相互独立，所以③正确，对于④，因为，所以，因为，，所以，所以A，B不相互独立，所以④错误，故选：C变式3．（多选题）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系正确的是（    ）A．A⊆D B．B∩D＝C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D【详解】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．故A⊆D，A∪C＝D.故A、C正确；因为事件B，D为互斥事件，所以B∩D＝.故B正确；对于D：A∪B＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B∪D为必然事件，这两者不相等.故D错误.故选：ABC.1．某中学运动会上有一个项目的比赛规则是：比赛分两个阶段，第一阶段，比赛双方各出5人，一对一进行比赛，共进行5局比赛，每局比赛获胜的一方得1分，负方得0分；第二阶段，比赛双方各出4人，二对二进行比赛，共进行2局比赛，每局比赛获胜的一方得2分，负方得0分．先得到5分及以上的一方裁定为本次比赛的获胜方，比赛结束．若甲、乙两个班进行比赛，在第一阶段比赛中，每局比赛双方获胜的概率都是，在第二阶段比赛中，每局比赛甲班获胜的概率都是，每局比赛的结果互不影响，则甲班经过7局比赛获胜的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】可分类分别求出甲班在第一阶段获胜的局数对应的概率，最后各种情况概率相加即可求解.【详解】按照甲班在第一阶段获胜的局数，分类讨论如下：（1）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．（2）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．（3）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．（4）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．所以所求概率，故A项正确.故选：A.2．已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，则下列说法正确的是（    ）A．若，且，则B．若，且，则C．若，则D．若，则【答案】BD【分析】对于A，由得；对于B，根据互斥事件的概率加法公式即可判断；对于C，根据相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式即可判断；对于D，根据条件概率以及全概率公式即可判断．【详解】选项A：因为，所以，选项A不正确；选项B：若，则A，B互斥，由，得，选项B正确；选项C：由得事件A，B相互独立，所以事件也相互独立，所以，则，选项C不正确；选项D：由，得，，所以，解得，选项D正确．故选：BD.【点睛】方法点睛：条件概率中复杂事件的求解，可以灵活运用条件概率的相关性质，转化为彼此互斥的事件或对立的事件的概率求解．①已知事件A，B，C，如果B和C是两个互斥事件，则；②已知事件A，B，则；③事件A与B相互独立时，有．3．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以表示从乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是（    ）A． B．C．事件与事件相互独立 D．，，两两互斥【答案】BD【分析】根据已知得出，然后即可根据概率的乘法公式以及全概率公式，得出答案.【详解】由已知可得，，，，，，.对于A项，由全概率公式可得，，故A项错误；对于B项，根据已知，即可计算，故B项正确；对于C项，由已知可得，，，故C项错误；对于D项，由已知可知，，，两两互斥，故D项正确.故选：BD.4．已知为随机事件，则下列表述中不正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据概率的性质及事件的运算关系，结合独立事件、条件概率公式判断各项的正误.【详解】仅当与相互独立时，成立，故A不正确；当和是两个互斥事件时才成立，故B不正确；，故C正确；，故D不正确．故选：ABD5．甲、乙、丙、丁四名教师分配到，，三个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配一人.设事件：“甲分配到学校”；事件：“乙分配到学校”，则（    ）A．事件与互斥 B．C．事件与相互独立 D．【答案】BD【分析】利用互斥事件、相互独立事件的定义判断AC；利用古典概率计算判断B；计算条件概率判断D作答.【详解】对于A，甲分配到学校的事件与乙分配到学校的事件可以同时发生，即事件与不互斥，A错误；对于B，甲分配到，，三个学校是等可能的，则，B正确；对于C，由选项B知，，，显然，因此事件与相互不独立，C错误；对于D，由选项BC知，，D正确.故选：BD6．为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80元，90元，100元的，，三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1000积分，且甲兑换，，三种商品的概率分别为，，，乙兑换，，三种商品的概率分别为，，，且他们兑换何种商品相互独立.(1)求甲、乙两人兑换同一种商品的概率；(2)记为两人兑换商品后的积分总余额，求的分布列与期望【答案】(1)；(2)分布列见解析，.【分析】（1）应用独立乘法公式、互斥事件加法求甲、乙两人兑换同一种商品的概率；（2）根据题设确定的可能取值并确定对应概率，即可写出分布列，进而求期望.【详解】（1）由题可知，甲、乙两人兑换同一种商品的概率为；（2）由题意，兑换，，三种商品所需的积分分别为800，900，1000，则的取值可能为0，100，200，300，400，，，，，，则的分布列为0100200300400.7．截至2022年年底，女足亚洲杯已经成功举办了20届．中国女子国家足球队在参赛的15届亚洲杯中共获得9次冠军、2次亚军和3次季军，其辉煌战绩每每给国人带来拼搏奋进的力量．在某届女足亚洲杯中，将甲、乙、丙等12支参赛球队平均分成，，三个小组．(1)求甲、乙、丙三支球队