专题08数列易错点一：混淆数列与函数的区别（数列求最值问题）1、等差数列的定义（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；（2）符号语言：(，为常数)．2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．3、通项公式与前n项和公式（1）通项公式：．（2）前项和公式：．（3）等差数列与函数的关系=1\*GB3①通项公式：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列．=2\*GB3②前n项和：当公差时，是关于的二次函数且常数项为0.已知数列是等差数列，是其前项和．1、等差数列通项公式的性质：（1）通项公式的推广：．（2）若，则．（3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为．（4）若是等差数列，则也是等差数列．2、等差数列前项和的性质（1）；（2）；（3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为.（4）数列，，，…构成等差数列．3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质（1）若项数为，则，；（2）若项数为，则，，，.最值问题：解决此类问题有两种思路：一是利用等差数列的前项和公式，可用配方法求最值，也可用顶点坐标法求最值；二是依据等差数列的通项公式，当时，数列一定为递增数列，当时，数列一定为递减数列．所以当，且时，无穷等差数列的前项和有最大值，其最大值是所有非负项的和；当，且时，无穷等差数列的前项和有最小值，其最小值是所有非正项的和，求解非负项是哪一项时，只要令即可易错提醒：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题，要注意的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错.例．已知等差数列的前n项和为，且，，求取得最大值时对应的n值.【详解】在等差数列中，，则，而，于是公差，因此，由，得，显然数列是递减等差数列，前5项都是非负数，从第6项起为负数，所以的最大值为，此时或.变式1．数列是等差数列，，．(1)从第几项开始有？(2)求此数列的前项和的最大值．【详解】（1）因为，，所以．令，则．由于，故当时，，即从第项开始各项均小于；（2）方法1：．当取最接近于的自然数，即时，取到最大值．方法2：因为，，由（1），知，，所以，且．所以．变式2．记为等差数列的前n项和，已知，．(1)求的通项公式；(2)求的最小值．【详解】（1）设公差为，，∴，解得，∴．（2）∵，，∴＝，∴当时，最小，最小值为．变式3．等差数列，，公差．(1)求通项公式和前项和公式；(2)当取何值时，前项和最大，最大值是多少．【详解】（1）由为等差数列的前项和，则，解得，，则，.（2）由，则数列为递减数列，由，，则当时，取得最大值，即最大值为.1．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和，有最大值，当时，的最大值为（    ）A．20 B．17 C．19 D．21【答案】C【分析】可判断数列是递减的等差数列，利用前项和公式和等差数列的性质可得进而可得的最大值．【详解】因为，所以和异号，又等差数列的前项和有最大值，所以数列是递减的等差数列，所以，，所以，，所以当时，的最大值为19．故选：C．2．已知等差数列的前n项和为，，且，则取得最小值时n的值为（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由等差数列的通项公式，求得，，进而得到当当时，，当时，，即可求解.【详解】由等差数列的通项公式，得，又，所以则等差数列中满足，，且，数列为递增数列，且当时，，当时，，所以当取得最小值时，n的值为.故选：B.3．已知数列中，若其前n项和为Sn，则Sn的最大值为（    ）A．15 B．750 C． D．【答案】C【分析】由题意可得数列是以首项为25，公差的等差数列，结合等差数列的通项公式以及前n项和的性质分析运算.【详解】由，可得，所以数列是以首项为25，公差的等差数列，且为单调递减数列，其通项公式为．当且时，Sn最大，解得且，则，即数列{an}的前15项均为非负值，第16项开始为负值，故S15最大，.故选：C．4．若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是（    ）A．2021 B．2022 C．4042 D．4043【答案】C【分析】根据题意得，，再结合，，求解即可．【详解】根据,得，，所以，因为，所以，所以使前项和成立的最大自然数是4042．故选：C5．设是等差数列，是其前n项和，且，，则下列结论正确的是（     ）.A． B．C． D．与均为的最大值【答案】BD【分析】对于B：根据题意结合前n项和分析可得；对于A：根据等差数列的定义分析判断；对于C：根据等差数列的性质分析可得，进而可得结果；对于D：根据等差数列的正负性结合前n项和的性质分析判断.【详解】因为，，则，故B正确；设等差数列的公差为，则，故A错误；可知数列为递减数列，可得，可得，所以，故C错误；因为为最后一项正数，根据加法的性质可知：为的最大值，又因为，所以与均为的最大值，故D正确；故选：BD.6．设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．设的前项和为，则时，的最大值为27【答案】BC【分析】由已知求得，，解公差为的取值范围，利用等差数列的通项公式求和公式及其性质逐个选项判断正误即可.【详解】∵，，∴，，∴，，∴，A选项错误；又∵，即，∴，解得，B选项正确；∵，故C选项正确；因为等差数列的前n项和为，所以，即，由，∴数列为等差数列，设，因为当时，，当时，，所以当时，，当时，，所以，，因为，所以可能为正数，也可能为负数，所以D选项不正确．故选：BC．7．已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（    ）A．是为等差数列的充要条件B．可能为等比数列C．若，，则为递增数列D．若，则中，，最大【答案】ABD【分析】计算，当时，，验证知A正确，当时是等比数列，B正确，举反例知C错误，计算得到D正确，得到答案.【详解】，；当时，，当时，，满足通项公式，数列为等差数列；当为等差数列时，，，故A正确；当时，，是等比数列，B正确；，取，则，C错误；当时，从第二项开始，数列递减，且，故，故，最大，D正确.故选：ABD8．已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ）A．是等差数列 B．C． D．有最大值【答案】AB【分析】由与的关系求出数列的通项，从而可判断AB，根据数列性质可判断C，根据前项和的函数性质可判断D.【详解】当时，，当时，，符合，故，所以，，所以数列是等差数列，首项为，公差，A正确；，B正确；因为公差，所以数列是递减数列，所以，C错误；，易知当或时，有最大值，D错误.故选：AB9．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ）A．是递增数列 B．C．当时， D．当或4时，取得最大值【答案】CD【分析】根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断A、B、C选项的正误.的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.【详解】当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误；，故B错误；当时，，故C正确；因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确.故选：CD.10．等比数列中，，则数列的前项和的最大值为．【答案】21【分析】先求得数列的通项公式，由此求得数列的通项公式，可知数列是等差数列，然后根据通项公式的特征求得前项和的最大值．【详解】由于等比数列中，，，所以，解得，所以，所以，所以数列是首项为6，公差为的等差数列，当1≤n≤6时，；当n＝7时，；当n＞7时，，则当n＝6或n＝7时，数列的前n项和取得最大值，最大值为6＋5＋4＋3＋2＋1＝21．故答案为：21．11．记等差数列的前n项和为，若，，则当取得最大值时，n＝．【答案】【分析】由求出和的关系，结合等差数列前项和公式即可求解.【详解】设等差数列的公差为，由可得：，所以，因为，所以，则是关于的二次函数，开口向下，对称轴，由二次函数的图象和性质可得：当时，取最大值，故答案为：.易错点二：忽视两个“中项”的区别（等比数列利用中项求其它）1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。数学语言表达式：(，为非零常数)．2、等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中.注意：同号的两个数才有等比中项。3、通项公式及前n项和公式（1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；通项公式的推广：.（2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，.已知是等比数列，是数列的前项和．（等比中项）1、等比数列的基本性质（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为.（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．（3）若，则有口诀：角标和相等，项的积也相等推广：（4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。（5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列。易错提醒：若成等比数列，则为和的等比中项。只有同号的两数才有等比中项，“”仅是“为和的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。例．已知各项均为正数的等比数列中，，则等于（    ）A．5 B．10 C．15 D．20【详解】解：由等比数列的性质可得a2a4＝a32，a4a6＝a52，∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a32＋2a3a5＋a52＝（a3＋a5）2＝25，又等比数列各项均为正数，∴a3＋a5＝5，选项A正确变式1．已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则(    )A． B． C． D．【详解】由题意可知，得，解得或，因为，故，所以.故选：A.变式2．已知，如果，，，，成等比数列，那么（    ）A．， B．，C．， D．，【详解】因为是和的等比中项，所以，设公比为，则，所以b与首项-1同号，所以．又a，c必同号，所以．故选：B变式3．已知等比数列中，，，则（    ）A． B． C．或 D．【详解】解：由等比数列性质可知，所以或，但，可知，所以，则，故选：B1．已知等差数列的前项和为，公差不为0，若满足、、成等比数列，则的值为（    ）A．2 B．3 C． D．不存在【答案】A【分析】根据题意，利用等比中项公式列出方程求得，结合，即可求解.【详解】由等差数列的前项和为，公差不为0，若满足，，成等比数列，可得，即，整理得，因为，所以，又由.故选：A.2．已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前9项的和为（    ）A．1 B．2 C．81 D．80【答案】C【分析】由题知，，进而根据等差数列通项公式解得，再求和即可.【详解】因为，所以，解得.又，，成等比数列，所以.设数列的公差为，则，即，整理得.因为，所以.所以.故选:C.3．已知，，则使得成等比数列的充要条件的值为（    ）A．1 B． C．5 D．【答案】B【分析】根据等比中项的性质求解即可.【详解】若成等比数列，则，即，当时，满足，成等比数列，故使得成等比数列的充要条件的b值为.故选：B4．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则错误的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出公差，根据题干条件列出方程，求出公差，求出通项公式，再利用通项公式和前n项和公式对四个选项一一计算，进行判断.【详解】设等差数列的公差为d（）.因为且成等比数列，所以.解得：，所以.对于A：.故A正确；对于B：因为，所以.故B正确；对于C：.故C错误；对于D：因为，所以当时，，即.故D正确.故选：C5．正项等比数列中，是与的等差中项，若，则（    ）A．4 B．8 C．32 D．64【答案】D【分析】依题意是与的等差中项，可求出公比，进而由求出，根据等比中项求出的值.【详解】由题意可知，是与的等差中项，所以，即，所以，或（舍），所以，，故选：D.6．已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为（    ）A． B． C．或 D．或7【答案