专题04导数及其应用易错点一：忽略切点所在位置及求导简化形式（导数的概念及应用）一、导数的概念和几何性质1．概念函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．诠释：①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．2．几何意义函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．3．物理意义函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．二、导数的运算1．求导的基本公式基本初等函数导函数（为常数）2．导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：；（2）函数积的求导法则：；（3）函数商的求导法则：，则．3．复合函数求导数复合函数的导数和函数，的导数间关系为：应用1．在点的切线方程切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．应用2．过点的切线方程设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．易错提醒：1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元2．利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．（3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．4．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点（1）注意曲线上横坐标的取值范围；（2）谨记切点既在切线上又在曲线上．例．已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若，都有，求的取值范围．【详解】（1）解：当时，，因为，所以，曲线在处的切线方程是，即．（2）因为，都有，所以．设，则．记，设，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以在上单调递减．因为，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，．变式1．已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若有两个不等的实根，求实数的取值范围.【详解】（1）当时，，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）显然，要使方程有两个不等的实根，只需当时，有且仅有一个实根，当时，由方程，得.令，则直线与的图象有且仅有一个交点..又当时，单调递减，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，取得极小值，又当时，，所以，即，当时，，即，所以作出的大致图象如图所示.  由图象，知要使直线与的图象有且仅有一个交点，只需或.综上，若有两个不等的实根，则的取值范围为.变式2．已知函数.(1)当时，求过原点且与的图象相切的直线方程；(2)若有两个不同的零点，不等式恒成立，求实数的取值范围.【详解】（1）易知的定义域为，设切点坐标，则切线方程为：，把点带入切线得：，所以，的切线方程为：；（2），又有两个不同零点，则有两个不同零点，构造函数，   则为增函数，且，即方程有两个不等实根，令，则，  则，        设，方法一、原不等式恒成立等价于恒成立，令，由单调递增，即，若单调递增，即恒成立，此时符合题意；若有解，此时有时，单调递减，则，不符合题意；综上所述：的取值范围为.方法二、，设，在恒成立，在单调递增，，则在单调递增，所以，，所以的取值范围为.变式3．已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若对，恒成立．求实数的取值范围．【详解】（1）解：，所求切线斜率为，切点为，故所求切线方程为，即.（2）方法一：分离变量由得在恒成立，令，则，，当时，，即：，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故当时，取最大值为，故，即的取值范围是.方法二：分类讨论由得在恒成立，令，则，①当时，恒成立，在上单调递减，又，故当时，，不合题意；②当时，令得，令得，令得，故在上单调递减，在上单调递增，故当时，取最小值，故，即的取值范围是，综上所述，的取值范围是.方法三：数形结合由得在恒成立，令，，则当时，恒成立，，,若，当时，，，，不合题意；若，，曲线与曲线有且只有一个公共点，且在该公共点处的切线相同．设切点坐标为，  则，解得，故当时，，即的取值范围是.1．已知函数与的图象关于直线对称，直线与的图象均相切，则的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据与的图象关于直线对称，得到，设直线与函数的图象的切点坐标为，与函数的图象的切点坐标为，由斜率相等得到，然后再利用斜率和倾斜角的关系求解.【详解】解：因为函数与的图象关于直线对称，所以与互为反函数，所以，则．由，得，设直线与函数的图象的切点坐标为，与函数的图象的切点坐标为，则直线的斜率，故，显然，故，所以直线的倾斜角为，故选：B．2．若曲线存在与直线垂直的切线，则k的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】对求导后根据题意可得在上有解.令，求导判断单调性求得值域，从而可得不等式，求解即可.【详解】对求导得，当时，曲线不存在与直线垂直的切线，当时，若曲线存在与直线垂直的切线，只需在上有解.令，求导得，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，且当时，，所以，解得，所以k的取值范围是.故选：D.3．过点作曲线的切线有且只有两条，切点分别为，，则（    ）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义列式可得，再根据韦达定理即可得答案.【详解】由题意得，过点作曲线的切线，设切点坐标为，则，即，由于，故，因为过点作曲线的切线有且只有两条，所以为的两个解，且，所以，所以.故选：A.4．曲线在点处的切线在y轴上的截距的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据导数的几何意义得到切线方程，即可得到纵截距，然后构造函数，求导，根据单调性求值域即可.【详解】因为，所以所求切线方程为，令，则，令，则.所以当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以.因为，，所以该切线在y轴上的截距的取值范围为.故选：B.5．已知函数，则（    ）A．函数在处的切线方程为 B．函数有两个零点C．函数的极大值点在区间内 D．函数在上单调递减【答案】ACD【分析】利用导函数求出在处的切线斜率，从而求切线方程，即可判断选项A；令，由单调性和极值可判断选项C、D；由零点存在定理可判断选项B.【详解】由得，所以，又,所以函数在处的切线方程为，即，所以A正确；令，显然在上单调递减，且，，所以存在使得，即，则在上单调递增，在上单调递减，所以在处有极大值，极大值点，所以C正确；因为，所以函数在上单调递减，所以D正确因为，函数在上单调递增，所以在上，函数有一个零点，因为，所以当时，，所以函数在上无零点，所以函数只有一个零点，所以B错误.故选：ACD6．已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据导数的几何意义和平行关系的斜率关系对选项一一分析即可.【详解】，，则，当且仅当即等号成立，根据导数的几何意义知，切线的斜率，因为切线与直线l平行，所以l的斜率，选项A中直线的斜率为，符合题意；选项B中直线的斜率为，不符合题意；选项C中直线的斜率为，符合题意；选项D中直线的斜率为，符合题意；故选：ACD.7．已知函数，则（    ）A．的图象关于原点中心对称B．在区间上的最小值为C．过点有且仅有1条直线与曲线相切D．若过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是【答案】AD【分析】根据奇函数的定义即可判断A，求导得函数的单调性，即可求解函数的最值，进而判断B，求解切点处的切线方程，将经过的点代入，利用方程的根即可判断DC.【详解】的定义域为，且，所以为奇函数，故图象关于原点对称，故A正确，，令得或，故在单调递增，在单调递减，故在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，又，最小值为，故B错误，设切点为，则切点处切线方程为，若切线经过，则将代入可得，所以或，故经过会有两条切线，C错误，若切线经过，则将代入得，令，则当因此在单调递增，在和单调递减，作出的图象如下：，要使过点存在3条直线与曲线相切，则直线过点与的图象有三个不同的交点，故，D正确，故选：AD  8．已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线；(2)讨论的单调性；(3)当时，若对任意实数，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）代入函数解析式，利用导数的几何意义求曲线在点处的切线；（2）利用导数，对分类讨论，求的单调区间；（3）由恒成立，结合函数的极值，求的取值范围.【详解】（1）时，函数，则，切点坐标为，，则曲线在点处的切线斜率为，所求切线方程为，即.（2），函数定义域为R，①，解得或，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，②，解得或，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，③，恒成立，在上单调递增.（3）当时，由（2）可知为在上的极小值，也是最小值.于是，所以当且时，由于函数的图像抛物线开口向上，对称轴大于0，因此，此时，符合题意.所以的取值范围为.9．已知函数，且，．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)设，，，讨论函数的零点个数．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据题意，由导数的几何意义，结合直线方程的求法，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得，然后化简，换元，求导，由函数的值域，即可判断零点个数.【详解】（1）当时，定义域为R，，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为．（2）由，得，得，所以，，于是，，由，得．当时，，与题意不符，所以．对两端同时取自然对数，得，得．设，则，设，则，令，得，所以当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，且当时，，，当时，，所以当或，即当或时，函数有一个零点；当，即或时，函数有两个零点．综上，当或时，函数有一个零点；当或时，函数有两个零点．10．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求得，求得，，结合导数的几何意义，即可求解；（2）根据题意，把不等式转化为，设，求得，转化为存在唯一的，使，求得，得到，设，利用导数求得函数的单调性，再设，求得在上单调递增，进而求得的取值范围.【详解】（1）解：当时，，可得，则，，即切线的斜率为，所以切线方程为，即.（2）解：由题意，函数的定义域为，，即，设，则，因为，所以在上为增函数，当时，，当时，，所以存在唯一的，使，且当时，，当时，.由，得，则，所以因为，所以.设，可得，所以在区间上为减函数，又由，所以，又因为，设，则，可知在上单调递增，则，即实数a的取值范围是.11．已知，函数，．(1)当时，若斜率为0的直线l是的一条切线，求切点的坐标；(2)若与有相同的最小值，求实数a．【答案】(1)(2)1【分析】（1）由得切点的横坐标，再代入计算出纵坐标即得切点坐标；（2）首先由导数求得与的最小值，由两最小值相等求，为此方程变形后引入新函数，利用导数确定单调性得出零点．【详解】（1）由题意，，由得，此时，所以切点为；（2），时，，在上